Question

已知函數f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R．
（1）若x=2是函數f（x）的極值點，求實數a的值．
（2）若函數f（x）在[2，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）若函數f（x）在[1，e]上的最小值為3，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，由導函數等于0得到導函數的零點，由導函數的零點把定義域分段，判斷出各區間段內的導函數的符號，由導函數的符號得到原函數的單調性，從而判斷出極值點，由x=2是函數f（x）的極值點求實數a的值；
（2）求出原函數的導函數，由導函數在[2，+∞）大于等于0恒成立得到x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，分離變量a后即可得到a的取值范圍；
（3）由原函數的導函數等于0求出導函數的零點，由零點對定義域分段，然后根據原函數的極值點與給出的區間端點值得大小關系分析原函數在區間[1，e]上的單調性，由單調性求得原函數在[1，e]上的最小值，由最小值等于3解得a的值．

解答：解：（1）由f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R，所以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

．
定義域為（0，+∞），
由f^′（x）=0，得x-2a=0，即x=2a．
所以，當x∈（0，2a）時，f^′（x）＜0，f（x）為減函數；
當x∈（2a，+∞）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數，
所以在（0，+∞）上f（x）有極小值點x=2a，由已知x=2是函數f（x）的極值點，
所以2a=2，則a=1；
（2）由f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R，所以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

．
若函數f（x）在[2，+∞）上是增函數，則f′(x)=

x-2a

x2

≥0在[2，+∞）恒成立，
即x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是a≤

x

2

在[2，+∞）恒成立，
所以a≤1．
所以使函數f（x）在[2，+∞）上是增函數的實數a的取值范圍是（-∞，1]；
（3）由（2）知，以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

，
若a≤0，則f^′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數，
f（x）在[1，e]上的最小值為f（1）=2a=3，a=

3

2

，不合題意；
若a＞0，由f^′（x）=0，得x=2a．
當x∈（0，2a）時，f^′（x）＜0，f（x）為減函數，
當x∈（2a，+∞）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數，
所以當2a≤1，即a≤

1

2

時，f（x）在[1，e]上為增函數，
最小值為f（1）=2a=3，a=

3

2

，不合題意；
當2a≥e，即a≥

e

2

時，f（x）在[1，e]上為減函數，
最小值為f（e）=1+

2a

e

=3，a=e，符合題意；
當1＜2a＜e，即

1

2

＜a＜

e

2

時，f（x）在[1，e]上的最小值為f（2a）=ln2a+1=3，a=

e2

2

不合題意．
綜上，使函數f（x）在[1，e]上的最小值為3的實數a的值為e．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數在閉區間上的最值，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了利用分離變量法求參數的范圍，解答的關鍵是會求基本初等函數的導函數和對變量的正確分類，是難題．