Question

已知橢圓的左右焦點為，拋物線C：以F₂為焦點且與橢圓相交于點、,點在軸上方，直線與拋物線相切.
（1）求拋物線的方程和點、的坐標；
（2）設A,B是拋物線C上兩動點，如果直線，與軸分別交于點. 是以,為腰的等腰三角形，探究直線AB的斜率是否為定值？若是求出這個定值，若不是說明理由.

Answer 1

（1）M、N的坐標分別為（1，2）、（1，－2）。
（2）為定值

試題分析：解：（1）由橢圓方程得半焦距          1分
所以橢圓焦點為                      
又拋物線C的焦點為     3分
∵在拋物線C上，
∴，直線的方程為          4分
代入拋物線C得
                         5分
∵與拋物線C相切，
，             6分
      ∴ M、N的坐標分別為（1，2）、（1，－2）。    7分
（2）直線AB的斜率為定值­—1.
證明如下：設，，，A、B在拋物線上，
由①-③得，
由②-③得， １０分
因為是以MP,MQ為腰的等腰三角形，所以  １０分
由得 化簡整理，
得
由得：
為定值   14分
解法二：設，    6分
則，    8分
因為是以MP,MQ為腰的等腰三角形，所以    10分
即
所以                     
所以，由得     12分
所以，
所以，直線AB的斜率為定值，這個定值為  14分
點評：主要是考查了拋物線方程的方程的求解以及直線與拋物線的位置關系的運用，屬于中檔題。