Question

對于R上可導的任意函數f（x），若滿足x•f′（x）≥0，則必有（　　）

A．f（-1）+f（1）＜2f（0）

B．f（-1）+f（1）＞2f（0）

C．f（-1）+f（1）≤2f（0）

D．f（-1）+f（1）≥2f（0）

Answer 1

分析：分x≥0和x＜0兩種情況對xf′（x）≥0進行討論，由極值的定義可得當x=0時f（x）取得最小值，故問題得證．

解答：解：依題意，當x≥0時，f′（x）≥0，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數；
當x＜0時，f′（x）≤0，f（x）在（-∞，0）上是減函數，
故當x=0時f（x）取得最小值，即有
f（-1）≥f（0），f（1）≥f（0），
∴f（-1）+f（1）≥2f（0）．
故選D．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論的思想思想．屬于基礎題．