Question

某種產品特約經銷商根據以往當地的需求情況，得出如下該種產品日需求量的頻率分布直方圖．

（1）求圖中的值，并估計日需求量的眾數；
（2）某日，經銷商購進130件該種產品，根據近期市場行情，當天每售出件能獲利30元，未售出的部分，每件虧損20元．設當天的需求量為件()，純利潤為元．
（ⅰ）將表示為的函數；
（ⅱ）根據直方圖估計當天純利潤不少于元的概率．

Answer 1

（1）,日需求量的眾數為125件；
（2）（ⅰ）   （ⅱ）

試題分析：（1）利用頻率分布直方圖中所有的小長方形的面積之和為一求出的值，利用直方圖中最高的小長方形底邊的中點的橫坐標求出眾數；
（2）（ⅰ）設當天的需求量為件，當時，全部售出，獲利元；若，剩余件，可得純利潤為元，由此可將表示為的函數（分段函數）；
（ⅱ）由（ⅰ）中所得函數解出純利潤不少于元時的范圍，再利用直方圖中頻率估計相應的概率值.
試題解析：解：(1)由直方圖可知：
（0.013+0.015+0.017++0.030）×10=1，
∴.                            2分
∵
∴估計日需求量的眾數為125件.                    4分
（2）（ⅰ）當時，     6分
當時，                8分
∴.                    9分
（ⅱ）若 由得,
∵，
∴.                           11分
∴由直方圖可知當時的頻率是，
∴可估計當天純利潤S不少于3400元的概率是0.7.            14分