Question

已知函數f(x)=a-

2

2x+1

（其中常數a∈R）
（1）判斷函數f（x）的單調性，并加以證明；
（2）如果f（x）是奇函數，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）根據指數函數的單調性與底數的關系，分析出y=2^x在R上為增函數，進而根據

1

f(x)

的單調性與f（x）單調性相反，-f（x）的單調性與f（x）單調性相反，利用分析法可證明函數f（x）的單調性
（2）根據定義在R上奇函數圖象必過原點，將（0，0）代入可求出a值．

解答：解（1）函數f(x)=a-

2

2x+1

在R上為增函數
理由如下：
∵2＞1，故y=2^x在R上為增函數，
故y=2^x+1在R上為增函數
故y=

2

2x+1

在R上為減函數
故y=-

2

2x+1

在R上為增函數
故函數f(x)=a-

2

2x+1

在R上為增函數
（2）若函數f(x)=a-

2

2x+1

為奇函數
則f（0）=a-

2

20+1

=a-1=0
故a=1

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，函數單調性的判斷與證明，熟練掌握函數奇偶性和單調性的性質是解答的關鍵．