Question

（Ⅰ）用輾轉相除法求840與1 764的最大公約數；
（Ⅱ）用更相減損術求440 與556的最大公約數；
（Ⅲ）用秦九韶算法求多項式f（x）=7x⁷+6x⁶+5x⁵+4x⁴+3x³+2x²+x當x=3時的值．

Answer 1

分析：（I）用輾轉相除法求840與1764的最大公約數，寫出1764=840×2+84840=84×10+0，得到兩個數字的最大公約數；
（II）用更相減損術求440與556的最大公約數，先用大數減去小數，再用減數和差中較大的數字減去較小的數字，這樣減下去，知道減數和差相同，得到最大公約數；
（Ⅲ）把所給的函數式變化成都是一次式的形式，逐一求出從里到外的函數值的值，最后得到當xx=3時的函數值．

解答：解：（I）用輾轉相除法求840與1764的最大公約數．
1764=840×2+84840=84×10+0
∴840與1764的最大公約數是84
（II）用更相減損術求440與556的最大公約數．
556-440=116  440-116=324  324-116=208  208-116=92  116-92=24
92-24=68  68-24=44  44-24=20  24-20=4  20-4=16
16-4=12  12-4=8  8-4=4
∴440與556的最大公約數4
（Ⅲ）解：f（x）=（（7x+6）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x
V₀=7，
V₁=7×3+6=27，
V₂=27×3+5=86，
V₃=86×3+4=262，
V₄=262×3+6=789，
V₅=789×3+2=2369，
V₆=2369×3+1=7108，
V₇=7108×3+0=21324，
∴f（3）=21324
即當x=3時，函數值是21324．

點評：本題考查輾轉相除法和更相減損術，以及用秦九韶算法，這是案例中的一種題目，這種題目解題時需要有耐心，認真計算，不要在數字運算上出錯．