Question

某公司生產一種產品每年需投入固定成本為0.5萬元，此外每生產100件這種產品還需要增加投入0.25萬元．經預測知，當售出這種產品t百件時，若0＜t≤5，則銷售所得的收入為5t-

1

2

t²萬元：若t＞5，則銷售所得收入為

1

8

t+

23

2

萬元．
（1）若該公司的這種產品的年產量為x百件（x＞0），請把該公司生產并銷售這種產品所得的年利潤y表示為當年生產量x的函數；
（2）當年產量為多少時，當年公司所獲利潤最大？
（3）當年產量為多少時，當年公司不會虧本？（取

21.5625

為4.64）

Answer 1

分析：（1）根據銷售這種產品所得的年利潤=銷售所得的收入-銷售成本，建立函數關系即可；
（2）分別求出每一段函數的最值，然后比較求出最大值，從而求出所求；
（3）由題意知f（x）≥0，然后分別求出每一段滿足的x的值即可．

解答：（本題滿分13分）
解：（1）當0＜x≤5時，f（x）=5x-0.5x²-（0.5+0.25x）=-0.5x²+4.75x-0.5
當x＞5時，f(x)=

1

8

x+

23

2

-(0.5+0.25x)=-0.125x+11
∴f（x）=

-0.5x2+4.75x-0.5   ，0＜x≤5 -0.125x+11           ，x＞5

                        …（4分）
（2）當0＜x≤5時，f（x）=-0.5x²+4.75x-0.5=-0.5（x-4.75）²+10.78125
∴當x=4.75時，f（x）_max=10.78125
當x＞5時，f（x）=-0.125x+11＜-0.125×5+11=10.375＜10.78125
∴當年產量為4.75（百件）時，當年公司所得利潤最大，最大為10.78125萬元．…（9分）
（3）由題意知f（x）≥0
當0＜x≤5時，-0.5x²+4.75x-0.5≥0，
即-

21.5625

+4.75≤x

21.5625

+4.75
∴0.11≤x≤9.39，又0＜x≤5，
∴0.11≤x≤5
當x＞5時，-0.125x+11≥0，
∴5＜x≤88
綜上可得，∴0.11≤x≤88
∴當年產量為11件～8800件之間時，公司不會虧本．…（13分）

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及分段函數求最值問題，同時考查了計算能力，屬于中檔題．