Question

已知函數f(x)=

a

3

x3-

a+1

2

x2+x+b，其中a，b∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=5x-4，求函數f（x）的解析式；
（2）當a＞0且a≠0時，討論函數f（x）的單調性；
（3）當a=3時，若方程f（x）=0有三個根，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=5x-4，即可求得函數f（x）的解析式；
（2）求導函數，比較導函數等于0的方程根的大小，從而分類討論，確定函數的單調性；
（3）求導函數，確定函數的單調性與極值，要使方程f（x）=0有三個根，f(x)極大值=f(

1

3

)=

4

27

+b＞0，f（x）_極小值=f（1）=b＜0，即可求得b的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數得f′（x）=ax²-（a+1）x+1
∵若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=5x-4
∴f′（2）=4a-2（a+1）+1=5
∴2a=6，∴a=3
∵點P（2，f（2））在切線方程y=5x-4上
∴f（2）=5×2-4=6，∴2+b=6，∴b=4
∴函數f（x）的解析式為f（x）=x³-2x²+x+4；
（2）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=a(x-

1

a

)(x-1)
①當0＜a＜1，即

1

a

＞1時，函數f（x）在區間（-∞，1）及（

1

a

，+∞）上為增函數；在區間（1，

1

a

）上為減函數；
②當a＞1，即

1

a

＜1時，函數f（x）在區間（-∞，

1

a

）及（1，+∞）上為增函數；在區間（

1

a

，1）上為減函數；
（3）由（2）得，函數f（x）在區間（-∞，

1

3

）及（1，+∞）上為增函數；在區間（

1

3

，1）上為減函數；
∴f(x)極大值=f(

1

3

)=

4

27

+b，f（x）_極小值=f（1）=b
∵方程f（x）=0有三個根，
∴f(x)極大值=f(

1

3

)=

4

27

+b＞0，f（x）_極小值=f（1）=b＜0
∴-

4

27

＜b＜0
∴b的取值范圍為(-

4

27

，0)．

點評：本題考查導數知識的運用，考查曲線的切線，考查函數的單調性與極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．