Question

【題目】已知函數f（x）=|x2﹣1|+x2﹣kx．
（1）若k=2時，求出函數f（x）的單調區間及最小值；
（2）若f（x）≥0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：k=2時，f（x）= ，

當x＜﹣1或x＞1時，y=2x2﹣2x﹣1=2（x﹣ ）2﹣ ，f（x）在（﹣∞，﹣1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增；

當﹣1≤x≤1時，f（x）=1﹣2x單調遞減；

綜上，f（x）在（﹣∞，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增；

所以f（x）min=f（1）=﹣1

（2）解：f（x）= ，

當﹣1≤x≤1時，1﹣kx≥0恒成立，令g（x）=1﹣kx，則 ，

解得：﹣1≤k≤1；

當x＞1時，k≤2x﹣ 恒成立，y=2x﹣ 在（1，+∞）單調遞增，解得k≤1；

當x＜1時，k≥2x﹣ 恒成立，同理解得k≥﹣1．

綜上，﹣1≤k≤1．

【解析】（1）若k=2時，f（x）= ，利用二次函數的性質可求出函數f（x）的單調區間及最小值；（2）若f（x）≥0恒成立，分﹣1≤x≤1、x＞1與x＜1三類討論，分別構造函數，利用函數的單調性求得k的取值范圍，最后取交集即可求得實數k的取值范圍．