Question

（2008•如東縣三模）（理）若直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M、N兩點，并且M、N關于直線x+y=0對稱，則不等式組

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面區域的面積是

1

4

．

Answer 1

分析：由題意得直線y=kx+1與x+y=0垂直，利用垂直直線斜率的乘積為-1算出k=1；根據圓心C（-

k

2

，-

m

2

）在直線x+y=0上算出m=-1，從而得出原不等式組并作出它所表示的平面區域，利用三角形面積公式可求出其面積．

解答：解：∵M、N兩點關于直線x+y=0對稱，∴直線的斜率k=1，
又∵圓心C（-

k

2

，-

m

2

）在直線x+y=0上
∴可得-

k

2

+（-

m

2

）=0，解之得m=-k=-1
∴不等式組

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

變為

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

作出不等式組表示的平面區域，得到如圖所示的△AOB及其內部區域，
解出A（-1，0），B（-

1

2

，

1

2

），
所以S_△AOB=

1

2

×|-1|×|-

1

2

|=

1

4

．
故答案為：

1

4

點評：本題考查學生掌握直線與圓的位置關系、二元一次不等式（組）與平面區域等基本知識，考查學生靈活運用中點坐標公式化簡求值，會進行簡單的線性規劃，屬于中檔題．