Question

【題目】設橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中 為原點， 為橢圓的離心率.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）根據求出a，即可求出橢圓的方程；（2）設直線的方程為，聯立橢圓方程消元得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求B的坐標，根據向量垂直得到M的坐標與k的關系，由 即可求出k.

試題解析：

（1）設，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.

（2）設直線的斜率為，則直線的方程為，設，由方程組 消去，整理得，

解得或，

由題意得，從而，

由（1）知，設，有， ，

由，得，所以，

解得，因此直線的方程為，

設，由方程組 消去，得，

在中， ，

即，化簡得，即，

解得或，

所以直線的斜率為或.