Question

（本小題滿分14分）已知函數是定義域為R的偶函數，其圖像均在x軸的上方，對任意的，都有，且，又當時，為增函數。

（1）求的值；

（2）對于任意正整數，不等式：恒成立，求實數的取值

范圍。

 

Answer 1

【答案】

解：(1)由f(x·y)＝[f(x)]^y得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]⁰

∵函數f(x)的圖象均在x軸的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1……………………3分

∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]²＝4，又f(x)＞0   

∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2…………………………6分

 (2)……………………8分

又當時，在區間上為單調遞增函數

∴…………………………10分

∴

綜上可知，當實數，使時，不等式恒成立．………………14分

 

【解析】本試題主要是考查了抽象函數的賦值法的運用，以及求解指數式不等式的 綜合運用。

（1）由f(x·y)＝[f(x)]^y得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]⁰∵函數f(x)的圖象均在x軸的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]²＝4，又f(x)＞0

∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2

（2）因為

又當時，在區間上為單調遞增函數

∴，從而分離參數的思想，利用n的范圍解得。