Question

設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數列{a_n}的集合：①

an+an+2

2

≤a_n+1，②a_n≤M．其中n∈N⁺，M是與n無關的常數．
（1）設數列{b_n}的通項為b_n=5n-2ⁿ，證明：{b_n}∈W；
（2）若{a_n}是等差數列，S_n是其前n項的和，a₄=2，S₄=20，證明：{S_n}∈W并求M的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由b_n=5n-2ⁿ，分別代入：①

an+an+2

2

≤a_n+1，②a_n≤M．驗證是否成立，進而可判斷{b_n}∈W
（2）根據等差數列{a_n}滿足a₄=2，S₄=20，構造方程可求出其首項和公差，進而得到其通項公式和前n項和公式，將{S_n}，代入：①

an+an+2

2

≤a_n+1，②a_n≤M．驗證是否成立，進而可判斷{S_n}∈W，根據二次函數的圖象和性質可得W的取值范圍．

解答：證明：（1）

bn+bn+2

2

=

5n-2n+5(n+2)-2n+2

2

=5(n+1)-

5

4

•2n+1
又bn+1=5(n+1)-2n+1∵

5

4

•2n+1＞2n+1∴

bn+bn+2

2

≤bn+1…（3分）
∵bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+2n=5-2n
∴當n≤2時b_n+1＞b_n，
當n≥3時b_n+1＜b_n，
∴當n=3時，{b_n}取得最大值7
∴b_n≤7，由已知{b_n}∈W…（6分）
（2）由已知：設a_n=a₁+（n-1）d
∵a₄=2，s₄=20
∴a₁+3d=4，4a₁+6d=20
得∴a₁=8，d=-2，
∴a_n=10-2n，
sn=8n+

n(n+1)

2

•(-2)=-n2+9n…（8分）
∴

sn+sn+2

2

=

-n2+9n-(n+1)2+9(n+2)

2

=-n2+7n+7
又sn+1=-(n+1)2+9(n+1)=-n2+7n+8，
∴

sn+sn+2

2

≤sn+1…（10分）
sn=-n2+9n=-(n-

9

2

)2+

81

4

又∵n∈N⁺，
∴當n=4或5時，{s_n}取得最大值20
∴s_n≤20…（13分）
∴{s_n}∈W且M≥20
∴M的取值范圍為M≥20…（14分）

點評：本題考查的知識點是數列的應用，等差數列的前n項和，其中正確理解集合W中兩個條件的含義是解答的關鍵．