Question

若不等式2x≥log_ax對任意的x＞0都成立，則正實數a的取值范圍是（　　）

• A．[e^e，+∞）
• B．[e

  1

  2e

  ，+∞）
• C．[e^2e，+∞）
• D．[e

  1

  e

  ，+∞）

Answer 1

分析：由題意可得a＞1，令F（x）=2x-log_ax，利用導數求得F（x）的最小值為 F（

1

2lna

），由F（

1

2lna

）≥0，利用對數的運算性質求得正實數a的取值范圍．

解答：解：由于不等式2x≥log_ax對任意的x＞0都成立，∴a＞1．
令F（x）=2x-log_ax，則 F′（x）=2-

1

x

•logae，令 F′（x）=0 求得x=

1

2lna

．
在區間（0，

1

2lna

）上，F′（x）＜0，F（x）是減函數．
在區間（

1

2lna

，+∞）上，F′（x）＞0，F（x）是增函數．
故F（x）的最小值為 F（

1

2lna

）=

1

lna

-loga

1

2lna

≥0，即 loga

1

2lna

≥-

1

lna

，即

ln(2lna)

lna

≥-

1

lna

，即 ln（2lna）≥-1．
∴2lna≥

1

e

，即 lna²≥lne

1

e

，∴a²≥e

1

e

，a≥

e 1 e

=e

1

2e

．
故正實數a的取值范圍是[e

1

2e

，+∞），
故選 B．

點評：本題考查的知識點是對數函數的單調性與特殊點，利用導數研究函數的單調性，利用單調性求函數的最值，對數的運算性質，屬于中檔題．