Question

【題目】設函數f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（1）當b=1時，求曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程；
（2）討論函數f（x）的單調性；
（3）當n∈N* ， 且n≥2時證明不等式：ln[（ +1）（ +1）…（ +1）]+ + +…+ ＞ ﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2+ln（1+x），則f′（x）=2x+ ，

曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線斜率為f′（0）=1，

切點為（0，0），則切線方程為y=x

（2）解：f′（x）=2x+ = （x＞﹣1），

當b 時，f′（x）≥0，f（x）在x＞﹣1上遞增；

當b＜ ，f′（x）=0，解得，x1= ，x2= ，

①當b＜0時，x1＜﹣1，x2＞﹣1，f′（x）＞0，得x＞x2，f′（x）＜0，得﹣1＜x＜x2，

②當0＜b＜ 時，x1＞﹣1，x2＞﹣1，f′（x）＞0，得x＞x2，﹣1＜x＜x1，f′（x）＜0，得x1＜x＜x2；

綜上可得，當b 時，f（x）的增區間為（﹣1，+∞）；

當b＜0時，f（x）的增區間為（ ，+∞），減區間為（﹣1， ）；

當0＜b＜ 時，f（x）的增區間為（ ，+∞），（﹣1， ）

減區間為（ ， ）

（3）解：b=﹣1時，f（x）=x2﹣ln（x+1），

令h（x）=x3﹣f（x）=x3﹣x2+ln（x+1），h′（x）= 在x≥0恒正，

h（x）在[0，+∞）遞增，x＞0時，h（x）＞h（0）=0，即當x＞0時，x3﹣x2+ln（x+1）＞0，

即ln（x+1）+x3＞x2，對任意的n為正整數，取x= ，有ln（1+ ）+ ＞ ．

則ln[（ +1）（ +1）…（ +1）]+ + +…+

=ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）+ + +…+

=ln（1+ ）+ +ln（1+ ）+ +…+ln（1+ ）+

＞ + +…+ ＞ + +…+

= + +…+

= ﹣

【解析】（1）求出導數，求出切線的斜率和切點，由點斜式的方程即可得到；（2）求出導數，討論當b 時，當b＜0時，0＜b＜ 時，令導數大于0得增區間，令導數小于0，得減區間，注意定義域；（3）b=﹣1時，f（x）=x2﹣ln（x+1），令h（x）=x3﹣f（x）=x3﹣x2+ln（x+1），求出導數，運用單調性得到當x＞0時，x3﹣x2+ln（x+1）＞0，即ln（x+1）+x3＞x2，對任意的n為正整數，取x= ，有ln（1+ ）+ ＞ ．再由對數的性質和裂項相消求和即可得證．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．