Question

已知橢圓C：+（a＞b＞0）的焦距為4，且過點P（，）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設Q（x，y）（xy≠0）為橢圓C上一點，過點Q作x軸的垂線，垂足為E．取點A（0，2），連接AE，過點A作AE的垂線交x軸于點D．點G是點D關于y軸的對稱點，作直線QG，問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據橢圓的焦距為4，得到c==2，再由點P（）在橢圓C上得到，兩式聯解即可得到a²=8且b²=4，從而得到橢圓C的方程；
（II）由題意得E（x，0），設D的坐標為（x_D，0），可得向量、的坐標，根據AD⊥AE得，從而算出x_D=-，因為點G是點D關于y軸的對稱點，得到G（，0）．直線QG的斜率為k_QG=，結合點Q是橢圓C上的點化簡得k_QG=-，從而得到直線QG的方程為：y=-（x-），將此方程與橢圓C的方程聯解可得△=0，從而得到方程組有唯一解，即點Q是直線QG與橢圓C的唯一公共點，由此即得直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點．
解答：解：（I）∵橢圓C：+（a＞b＞0）的焦距為4，
∴c=2，可得=2…①
又∵點P（）在橢圓C上
∴…②
聯解①②，可得a²=8且b²=4，橢圓C的方程為；
（II）由題意，得E點坐標為（x，0），
設D（x_D，0），可得=（x，-），=（x_D，-），
∵AD⊥AE，可得
∴xx_D+（-）•（-）=0，即xx_D+8=0，得x_D=-
∵點G是點D關于y軸的對稱點，∴點G的坐標為（，0）
因此，直線QG的斜率為k_QG==
又∵點Q（x，y）在橢圓C上，可得
∴k_QG==-
由此可得直線QG的方程為：y=-（x-），
代入橢圓C方程，化簡得（）x²-16xx+64-16=0
將和8-2=x代入上式，得8x²-16xx+8=0，
化簡得x²-2xx+=0，所以△=，
從而可得x=x，y=y是方程組的唯一解，即點Q是直線QG與橢圓C的唯一公共點．
綜上所述，可得直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點．
點評：本題給出橢圓的焦距和橢圓上的點P的坐標，求橢圓的方程并由此討論直線QG與橢圓公共點的個數問題．著重考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質和直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．