Question

【題目】為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔30 min從該生產線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸：

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸	9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
抽取次序	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸	10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

經計算得， ， ， ，其中為抽取的第個零件的尺寸， ．

（1）求 的相關系數，并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小（若，則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小）．

（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．

（ⅰ）從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產過程進行檢查？

（ⅱ）在之外的數據稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產線當天生產的零件尺寸的均值與標準差．（精確到0.01）

附：樣本 的相關系數， ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.

【解析】試題分析：（1）依公式求；（2）（i）由，得抽取的第13個零件的尺寸在以外，因此需對當天的生產過程進行檢查；（ii）剔除第13個數據，則均值的估計值為10.02，方差為0.09．

試題解析：（1）由樣本數據得的相關系數為

.

由于，因此可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小.

（2）（i）由于，由樣本數據可以看出抽取的第13個零件的尺寸在以外，因此需對當天的生產過程進行檢查.

（ii）剔除離群值，即第13個數據，剩下數據的平均數為，這條生產線當天生產的零件尺寸的均值的估計值為10.02.

，

剔除第13個數據，剩下數據的樣本方差為，

這條生產線當天生產的零件尺寸的標準差的估計值為.

點睛:解答新穎的數學題時，一是通過轉化，化“新”為“舊”；二是通過深入分析，多方聯想，以“舊”攻“新”；三是創造性地運用數學思想方法，以“新”制“新”，應特別關注創新題型的切入點和生長點．