Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在處取得極值，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y+2=0平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對x∈[-1，2]都有f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導函數，可得f'（x）=3x²+2ax+b
∵函數f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在處取得極值，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y+2=0平行
∴，∴a=-，b=-2
（Ⅱ）對x∈[-1，2]都有f（x）＜c²恒成立，等價于對x∈[-1，2]都有x³-x²-2x＜c²-c恒成立，
設y=x³-x²-2x，則y′=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
解（x-1）（3x+2）=0得x=-或x=1
當x∈（-1，-）時，y'＞0；當x∈（-，1）時，y'＜0；當x∈（1，2）時，y'＞0
則f（x）極大值=，f（x）極小值=-
又f（-1）=，f（2）=2，所以f（x）_最大值=2；
∴2＜c²-c
∴c＜-1或c＞2．
分析：（Ⅰ）求導函數，根據函數f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈R）在處取得極值，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y+2=0平行，建立方程，即可求a，b的值；
（Ⅱ）依題意得對x∈[-1，2]都有x³-x²-2x＜c²-c恒成立，利用導數法，確定左邊對應函數的最大值，可得不等式，從而可求c的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與最值，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，確定函數的單調性，求最值是關鍵．