Question

【題目】已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點，PA=PB=PC=2，，點B在AC上的射影為D，則三棱錐體積的最大值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

先畫出圖形（見解析），求出三棱錐的高，由題意得出三棱錐體積最大時面積最大，進而求出的面積表達式，利用函數知識求出面積最大值，從而求出三棱錐體積最大值．

如下圖，由題意，，，

取的中點為，則為三角形的外心，且為在平面上的射影，所以球心在的延長線上，設，則，

所以，即，所以.

故，

過作于，設()，則,

設，則，故，

所以，則，

所以的面積，

令，則，

因為，所以當時，，即此時單調遞增；當時，，此時單調遞減．

所以當時，取到最大值為，即的面積最大值為．

當的面積最大時，三棱錐體積取得最大值為.

故選D.