Question

設集合，，又設函數f（x）=2x²+mx-1．
（1）若不等式f（x）≤0的解集為C，且C⊆（A∪B），求實數m的取值范圍．
（2）若對任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，試求當x∈（A∩B）時，函數f（x）的值域．
（3）當m∈（A∪B），x∈（A∩B）時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先分別化簡集合A，B，可求A∪B=[-1，1]，要使C⊆（A∪B），則，故得解；
（2）先求得），由于對任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，可知函數的對稱軸為x=1，從而可確定函數f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．，進而可求函數f（x）的值域．
（3）m∈[-1，1]，x∈，從而f（x）的最小值為-1，最大值在端點處取得，故可證．
解答：解：（1）由題意，，
∴A∪B=[-1，1]
要使C⊆（A∪B），則
∴實數m的取值范圍是m≥-1．
（2）
∵對任意x∈R，有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴函數的對稱軸為x=1
∴m=-4
∴f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3．
∵x∈（A∩B），
∴函數f（x）的值域為．
（3）m∈[-1，1]，x∈
∴f（x）的最小值為-1，最大值在端點處取得
∵

∴
點評：本題以集合為載體，考查函數值域，考查函數的最值，關鍵是集合的化簡．