Question

【題目】已知函數 有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 記點M（x1 ， f（x1）），N（x2 ， f（x2））．
（Ⅰ）求直線MN的方程；
（Ⅱ）證明：線段MN與曲線y=f（x）有且只有一個異于M、N的公共點．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令f'（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3， 且f（x）在區間（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上單調遞增，在區間（﹣1，3）上單調遞減，
∴x1=﹣1， ，x2=3，f（3）=﹣9，即 ，N（3，﹣9），
∴直線MN的方程為 ，化簡得 ．
（Ⅱ）設g（x）=f（x） = ，
則線段MN與曲線y=f（x）的公共點即g（x）在區間[﹣1，3]上的零點．
令 =0，解得 ， ，
且g（x）在區間 ， 上單調遞增，
在區間( 上單調遞減．
∴由 可得 =1＞g（2）=﹣1 ，
即 ， ，∴g（x）在區間 上有且僅有有一個零點．
，有0=g（﹣1）＜g（x），∴g（x）在 上無零點；
當 時，有g（x）＜g（3）=0，∴g（x）在 上無零點；
綜上，g（x）在區間（﹣1，3）上有且僅有一個零點．
所以線段MN與曲線y=f（x）有且只有一個異于M、N的公共點
【解析】（Ⅰ）求出導函數令f'（x）=x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，判斷函數的單調性求出MN，然后求解直線方程．（Ⅱ）設g（x）=f（x） ，推出線段MN與曲線y=f（x）的公共點即g（x）在區間[﹣1，3]上的零點．令 =0，通過判斷函數的極值判斷函數的單調性，推出結果即可．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．