Question

【題目】已知函數.

（1）若有兩個不同的極值點，，求實數的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由得，根據有兩個不同的極值點，，則有兩個不同的零點，即方程有兩個不同的實根，轉化為直線與的圖象有兩個不同的交點求解.

（2）由（1）知，設，則，由得，，要證，將 代入整理為，再令，轉化為，再構造函數，研究其最大值即可.

（1）由得，

有兩個不同的極值點，，則有兩個不同的零點，

即方程有兩個不同的實根，

即直線與的圖象有兩個不同的交點，

設，則，

時，單調遞增，且的取值范圍是；

時，單調遞減，且的取值范圍是，

所以當時，直線與的圖象有兩個不同的交點，

有兩個不同的極值點，，

故實數的取值范圍是.

（2）由（1）知，設，則，

由得，

所以要證，只需證，

即證，即證，

設，即證，即證，

設，則，

所以在是增函數，，

所以，從而有.