Question

已知點P是橢圓上的動點，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點，O是坐標原點，若M是∠F₁PF₂平分線上的一點，且F₁M⊥MP，則OM的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用M是∠F₁PF₂平分線上的一點，且F₁M⊥MP，判斷OM是三角形F₁F₂N的中位線，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用橢圓的焦半徑公式，轉化為用橢圓上點的橫坐標表示，借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍
解答：解：如圖，延長PF₂，F₁M，交與N點，∵PM是∠F₁PF₂平分線，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁F₂中點，
連接OM，∵O為F₁F₂中點，M為F₁F₂中點
∴|OM|=|F₂N|=||PN|-|PF₂||=||PF₁|-|PF₂||
∵在橢圓中，設P點坐標為（x，y）
則|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex+a-ex|=|2ex|=|x|
∵P點在橢圓上，∴|x|∈[0，4]，
又∵當|x|=4時，F₁M⊥MP不成立，∴|x|∈[0，4）
∴|OM|∈[0，2）
故答案為[0，2）
點評：本題主要考查了橢圓的焦半徑公式在求范圍中的應用，做題時要善于發現規律，把所求問題轉化為熟悉的知識．