Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，E為PD上一點，AD＝2AB＝2AP＝2，PE＝2DE.

(1)若F為PE的中點，求證：BF∥平面ACE；
(2)求三棱錐P－ACE的體積．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明：連接BD，交AC于點O，連接OE，

∵底面ABCD為矩形，∴OB＝OD.
∵F為PE的中點，∴PE＝2EF.
又∵PE＝2DE，∴DE＝EF，∴OE∥BF.
又∵BF?平面ACE，OE?平面ACE，∴BF∥平面ACE.
(2)∵側棱PA⊥底面ABCD，∴AP⊥CD.
又∵底面ABCD為矩形，∴CD⊥AD.
∵AD∩AP＝A，∴CD⊥平面PAD.
又∵AD＝2AB＝2AP＝2，
∴V_P－ACE＝V_C－AEP＝×CD×S_△AEP＝×CD×S_△ADP
＝×CD×AD×AP＝.