Question

【題目】根據國家環保部新修訂的《環境空氣質量標準》規定：居民區PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環保局隨機抽取了一居民區2016年20天PM2.5的24小時平均濃度（單位：微克/立方米）的監測數據，數據統計如表：

組別	PM2.5濃度（微克/立方米）	頻數（天）	頻率
第一組	（0，25]	3	0.15
第二組	（25，50]	12	0.6
第三組	（50，75]	3	0.15
第四組	（75，100]	2	0.1

（1）將這20天的測量結果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖． ①求頻率分布直方圖中a的值；
②求樣本平均數，并根據樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區的環境質量是否需要改善？并說明理由．
（2）將頻率視為概率，對于2016年的某3天，記這3天中該居民區PM2.5的24小時平均濃度符合環境空氣質量標準的天數為X，求X的分布列．

Answer 1

【答案】
（1）解：①由第四組的頻率為1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，

得25a=0.1，

解得a=0.004；

②去年該居民區PM2.5年平均濃度為：

12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；

因為42.5＞35，

所以去年該居民區PM2.5年平均濃度不符合環境空氣質量標準，

故該居民區的環境需要改進

（2）解：由題意可得：

PM2.5的24小時平均濃度符合環境空氣質量標準的概率為0.9，

X的可能取值為0，1，2，3；

P（X=k）= （1﹣0.9）3﹣k0.9k，

可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，

P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；

X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.001	0.027	0.243	0.729

【解析】（1）（1）①估計頻率和為1求出a的值；②利用頻率分布直方圖求出年平均濃度，與35比較即可得出結論；（2）由題意得PM2.5的24小時平均濃度符合環境空氣質量標準的概率為0.9，X的可能取值為0，1，2，3；計算P（X=k）= 0.13﹣k0.9k，寫出分布列．
【考點精析】掌握頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．