Question

已知函數f(x)＝ax²－(a＋2)x＋lnx.
(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)當a>0時，若f(x)在區間[1，e]上的最小值為－2，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）y＝－2    （2）[1，＋∞)

解：(1)當a＝1時，f(x)＝x²－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋.
因為f′(1)＝0，f(1)＝－2，
所以切線方程是y＝－2.
(2)函數f(x)＝ax²－(a＋2)x＋lnx的定義域是(0，＋∞)．
當a>0時，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝ (x>0)．
令f′(x)＝0，即f′(x)＝＝＝0，
得x＝或x＝.
當0<≤1，即a≥1時，f(x)在[1，e]上單調遞增，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；
當1<<e時，f(x)在[1，e]上的最小值f()<f(1)＝－2，不合題意；
當≥e時，f(x)在[1，e]上單調遞減．
所以f(x)在[1，e]上的最小值f(e)<f(1)＝－2，不合題意．
綜上a的取值范圍為[1，＋∞)．