Question

設函數f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*）．f′（x）是f（x）的導函數．
（1）當k為偶數時，正項數列{a_n}滿足：a1=1，anf′(an)=

a

2 n+1

-3．證明：數列{

a

2 n

}中任意不同三項不能構成等差數列；
（2）當k為奇數時，證明：當x＞0時，對任意正整數n都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（x）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

Answer 1

分析：（1）當k為偶數時，由已知anf′(an)=

a

2 n+1

-3，得出2（an2-1）=an+12-3，整理構造得出數列{an2+1}是以2為公比，以a12+1=2為首項的等比數列，求出an2=2ⁿ-1，假設數列{

a

2 n

}中存在不同三項ar2，as2at2構成等差數列，不妨設r＜s＜t，則2as2=ar2+at2①，考察①是否有解，作出解答．
（2）當k為奇數時，原不等式化為2n (x+

1

x

)n-2^n-1•2（xn+

1

xn

）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．可以利用二項式定理，結合倒序相加法，基本不等式進行證明，或者用數學歸納法證明．

解答：證明：（1）當k為偶數時，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，f′（a_n）=

2(an2-1)

an

由已知，得出2（an2-1）=an+12-3，
∴an+12+1=2（an2+1），數列{an2+1}是以2為公比，以a12+1=2為首項的等比數列．
∴an2+1=2•2^n-1=2ⁿ，an2=2ⁿ-1，
假設數列{

a

2 n

}中存在不同三項ar2，as2at2構成等差數列，不妨設r＜s＜t，則2as2=ar2+at2，即2（2^s-1）=2^r-1+2^t-1，2^s+1=2^r+2^t，2^s-r+1=1+2^t-r
又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1為偶數，1+2^t-r為奇數，矛盾．故假設不成立．因此數列{

a

2 n

}中任意不同三項不能構成等差數列．
（2）當k為奇數時，f（x）=x²+2lnx，f′（x）=2x+

2

x

=2（x+

1

x

），即證2n (x+

1

x

)n-2^n-1•2（xn+

1

xn

）≥2ⁿ（2ⁿ-2）
即證(x+

1

x

)n-（xn+

1

xn

）≥2ⁿ-2．
證法一：由二項式定理，即證

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4+

C

3 n

xn-6+…

C

n-1 n

x2-n≥2ⁿ-2
設S_n=

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4+

C

3 n

xn-6+…

C

n-1 n

x2-n，
又S_n=

C

n-1 n

x2-n+

C

n-2 n

x4-n+…+

C

2 n

xn-4+

C

1 n

xn-2．
兩式相加，得出2S_n=

C

1 n

(xn-2+ x2-n)+

C

2 n

(xn-4+ x4-n)+…+

C

n-1 n

(x2-n+ xn-2)
≥2（

C

1 n

+ 

C

2 n

+…

C

n-1 n

）=2（2ⁿ-2）．
∴S_n^≥2ⁿ-2．
證法二：數學歸納法
當n=1時，左邊=0，右邊=0，不等式成立．
設當n=k（k≥1）時成立．即(x+

1

x

)k-（xk+

1

xk

）≥2^k-2成立，
則當n=k+1時，(x+

1

x

)k+1-（xk+1+

1

xk+1

）=(x+

1

x

)k•(x+

1

x

) -（xk+1+

1

xk+1

）
≥[（2^k-2）+（xk+

1

xk

）]•(x+

1

x

) -（xk+1+

1

xk+1

）
=（2^k-2）•(x+

1

x

) +xk+1+

1

xk+1

+x^k-1+

1

xk-1

-（xk+1+

1

xk+1

）
=（2^k-2）•(x+

1

x

) +x^k-1+

1

xk-1

≥（2^k-2）•2+2
=2^k+1-2
即當n=k+1時不等式成立．
綜上所述，對任意正整數n不等式成立．

點評：本題是函數、數列、不等式的綜合．考查數列通項公式求解，不定方程解的討論，不等式的證明方法．用到了構造轉化、基本不等式、數學歸納法等知識方法．運算量較大，是容易出錯的地方．