Question

已知橢圓C中心在坐標原點O焦點在x上，F₁，F₂分別是橢圓C左、右焦點，M橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線l橢圓交于A、B兩點，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點Q的坐標為（1，0）存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切．若存在，求出點P坐標及圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意設橢圓的方程為，根據M是橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為，可列出方程，由此可求橢圓方程；
（2）假設存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，設圓Q的半徑為r，點P（x，y），根據圓Q與直線PF₁，PF₂都相切，所以PQ為∠F₁PF₂的角平分線，利用角平分線的性質，即可求得點P的坐標，從而可求點P坐標及圓的方程．
解答：解：（1）由題意設橢圓的方程為，
因為M是橢圓短軸的一個端點，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點，△MF₁F₂的面積為4，△ABF₂的周長為
所以，4a=，
∴，
∴b=c=2，a=2，
∴所求的橢圓方程為．
（2）假設存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切．
設圓Q的半徑為r，點P（x，y），
因為圓Q與直線PF₁，PF₂都相切，所以PQ為∠F₁PF₂的角平分線，
∴=，∴=
∴
∵|QF₁|=3，∴
∴解得
當P（2，）時，直線PF₁的方程為：x-2y+2=0，Q到直線PF₁的距離=；直線PF₂的方程為x-2=0，該圓與直線PF₂相切；當P（2，-）時，直線PF₁的方程為：x+2y+2=0，Q到直線PF₁的距離=；直線PF₂的方程為x-2=0，該圓與直線PF₂相切；
所以存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，點P（2，±），圓的方程為：（x-1）²+y²=1．
點評：本題考查直線與圓位置關系，直線與圓錐曲線位置關系，橢圓的標準方程，圓與圓位置關系，數形結合，運算能力，轉化與化歸能力，是中檔題．