Question

設f(x)=ax²+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.

Answer 1

5≤f(-2)≤10

方法一 設f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n為待定系數),

則4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,
于是得,解得,
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,
故5≤f(-2)≤10.
方法二 由,
得,
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
方法三 由確定的平面區域如圖.
當f(-2)=4a-2b過點A時,
取得最小值4×-2×=5,
當f(-2)=4a-2b過點B(3,1)時,
取得最大值4×3-2×1=10,
∴5≤f(-2)≤10.