Question

【題目】如圖，橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為 ，不過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB被直線(xiàn)OP平分．

（1）求橢圓C的方程；
（2）求△APB面積取最大值時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意 ，解得： ．

∴所求橢圓C的方程為： ．

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M

當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為x=0，與不過(guò)原點(diǎn)的條件不符，故設(shè)AB的方程為y=kx+m（m≠0）

由 ，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0①

∴ ，

∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M

∵M(jìn)在直線(xiàn)OP上，∴

∴k=﹣

故①變?yōu)?x2﹣3mx+m2﹣3=0，又直線(xiàn)與橢圓相交，

∴△＞0，x1+x2=m，

∴|AB|=

P到直線(xiàn)AB的距離d=

∴△APB面積S= （m∈（﹣2 ，0）

令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，則

∴m=1﹣ ，u（m）取到最大值

∴m=1﹣ 時(shí)，S取到最大值

綜上，所求直線(xiàn)的方程為：

【解析】（1）由題意，根據(jù)離心率為 ，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為 ，建立方程，即可求得橢圓C的方程；（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為x=0，與不過(guò)原點(diǎn)的條件不符，故設(shè)AB的方程為y=kx+m（m≠0）由 ，消元再利用韋達(dá)定理求得線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M，根據(jù)M在直線(xiàn)OP上，可求|AB|，P到直線(xiàn)AB的距離，即可求得△APB面積，從而問(wèn)題得解．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．