Question

已知橢圓+=1（0＜b＜2）的離心率等于，拋物線x²=2py （p＞0）．
（1）若拋物線的焦點F在橢圓的頂點上，求橢圓和拋物線的方程；
（2）若拋物線的焦點F為（0，），在拋物線上是否存在點P，使得過點P的切線與橢圓相交于A，B兩點，且滿足OA⊥OB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由橢圓方程得：a=2，e==
∴c=，∴=1　　
∴橢圓方程為；
由題意得：拋物線的焦點應為橢圓的上頂點，即（0，1）點，∴p=2
∴拋物線方程為x²=4y
（2）由題意可得p=1，∴拋物線方程為x²=2y…①
設拋物線上存在一點P（a，b），則拋物線在點P處的切線斜率為k=y′|_x=a=a
∴過點P的切線方程為y-b=a（x-a），即y=ax-b
代入橢圓方程，可得（4a²+1）x²-8abx+4b²-4=0…②
設切線與橢圓的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故x₁+x₂=，x₁x₂=
∴=x₁x₂+y₁y₂═=
∵OA⊥OB，∴=0
∴4a²-5b²+4=0
代入a²=2b可得5b²-8b-4=0
∴b=2或-（舍去）
b=2代入①得a=±2
將a，b代入②檢驗△=208＞0
∴存在這樣的點P（±2，2）滿足條件．
分析：（1）利用橢圓的幾何性質，確定橢圓的方程，可得拋物線的焦點，即可求拋物線的方程；
（2）求出過P的切線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的數量積公式，即可求得結論．
點評：本題考查橢圓、拋物線的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．