Question

把正方形ABCD沿其對角線AC折成直二面角D-AC-B后，連接BD，得到如圖所示的幾何體，已知點O、E、F分別為線段AC、AD、BC的中點。

（1）求證：AB∥平面EOF；
（2）求二面角E-OF-B的大小。

Answer 1

解：（1）∵點O、F分別為線段AC、BC的中點，
∴OF∥AB
 ∵OF平面EOF，AB平面EOF
∴AB∥平面EOF。

（2）∵二面角D-AC-B為直二面角，連接OD
∵AD=DC
∴OD⊥AC
∵平面ADC⊥平面ABC，
∴OD⊥平面ABC
又AB=BC
∴OB⊥AC
于是可建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz
由題可設OA=OB=OC=OD=2a，
∵點E、F分別為線段AD、BC的中點，
∴A（0，- 2a，0），B（2a，0，0），C（0，2a，0），D（0，0，2a）， E（0，-a，a），F（a，a，0）
∴，
設平面EOF的一個法向量為n₁=（x，y，z）
由得
取x=-1
則
∴
設平面OBF的一個法向量為n₂=（0，0，1）
∵
∴二面角E-OF-B的大小為。