Question

設,.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求證：在數軸上，介于與之間，且距較遠；
（Ⅲ）在數軸上，之間的距離是否可能為整數？若有，則求出這個整數；若沒有，
說明理由.

Answer 1

略

試題分析：i(Ⅰ) 證明不成立問題一般采用反證法，即假設問題成立，從假設開始推理論證得出矛盾，則說明假設不成立原命題成立。（Ⅱ）只需證明即可說明介于與之間。下面應分兩種情況證明，當時，用作差法比較和 的大小當時，說明距較遠。當時同理可證。（Ⅲ）用反證法：假設存在整數m為之間的距離，不妨設，將代入上式整理可得關于的一元二次方程。用求根公式可將解出。若與已知相矛盾，則說明假設不成立，否則假設成立。
試題解析：(Ⅰ)假設與已知，
所以.         3分
（Ⅱ）因為 ，所以
所以或。即或。所以介于與之間。
若則，
因為，所以，
則，所以，所以距較遠。
當時，同理可證。
綜上可得在數軸上，介于與之間，且距較遠。
（Ⅲ）假設存在整數m為之間的距離，不妨設，
則有，因為，所以，即。所以。因為,所以只有。當時，或，與假設矛盾，故，之間的距離不可能為整數。