Question

(本小題滿分14分)

已知函數，.

(1)如果函數在上是單調增函數，求的取值范圍；

(2)是否存在實數，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）()

【解析】

試題分析：（1）當時，在上是單調增函數，符合題意．        ……1分

當時，的對稱軸方程為，

由于在上是單調增函數，

所以，解得或，

所以．                                                                 ……3分

當時，不符合題意．  

綜上，的取值范圍是．                                                 ……4分

（2）把方程整理為，

即為方程.                                             ……5分

設 ，

原方程在區間()內有且只有兩個不相等的實數根,

即為函數在區間()內有且只有兩個零點.                                 ……6分

，                ……7分

令，因為，解得或（舍），                         ……8分

當時, , 是減函數；

當時, ，是增函數.                                   ……10分

在()內有且只有兩個不相等的零點, 只需                  ……13分

即 ∴，

解得, 所以的取值范圍是() ．                         ……14分

考點：本小題主要考查二次函數的單調性和利用導數解決函數的單調性、最值問題，考查學生對導數的工具性的應用能力和分類討論思想和數形結合思想的應用.

點評：研究高次函數的單調性一般用導數，前提是合理構造函數并正確求導，而不論用什么方法考查函數的性質，都不能忘記函數的定義域.