Question

【題目】已知a，b，c分別為△ABC三內角A，B，C的對邊，且滿足b+ccosA=c+acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面積為 ，求△ABC的周長的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理得：sinB+sinCcosA=sinC+sinAcosC，…（2分）
又sinB=sin（A+C）=sinCcosA+sinAcosC，…（3分）
∴2cosA=1，A為△ABC內角，
∴ ．
（Ⅱ）在△ABC中 ，
∴bc=4，
由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，
周長 ，
當且僅當b=c=2時等號成立，
故△ABC的周長的最小值為6．
【解析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式化簡已知可得2cosA=1，結合A為△ABC內角，即可得解A的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面積公式可求bc=4，由余弦定理，基本不等式即可求得△ABC的周長的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．