Question

選修4-4：坐標系與參數方程選講．
以直角坐標系的原點為極點O，x軸正半軸為極軸，已知點P的直角坐標為（1，-5），點C的極坐標為
（4，

π

2

），若直線l經過點P，且傾斜角為

π

3

，圓C的半徑為4．
（1）求直線l的參數方程及圓C的極坐標方程；
（2）試判斷直線l與圓C有位置關系．

Answer 1

分析：（1）由題意求得直線l的參數方程，C點的直角坐標為（0，4），圓C半徑為4，求得圓C方程，再將直線的參數方程代入，求得圓C極坐標方程．
（2）先求得直線l的普通方程，再求得圓心C到l的距離大于半徑，可得直線l與圓C相離．

解答：解：（1）直線l的參數方程

x=1+tcos π 3 y=-5+tsin π 3

，即

x=1+ 1 2 t y=-5+ 3 2 t

 （t為參數）．
由題知C點的直角坐標為（0，4），圓C半徑為4，
∴圓C方程為x²+（y-4）²=16，將

x=ρcosθ y=ρsinθ

  代入，求得圓C極坐標方程ρ=8sinθ．
（2）由題意得，直線l的普通方程為

3

x-y-5-

3

=0，
圓心CC到l的距離為d=

|-4-5- 3 |

2

=

9+ 3

2

＞4，
∴直線l與圓C相離．

點評：本題主要考查求直線的參數方程，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題．