Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁∩B₁C=O，H點為點O在平面D₁DCC₁內的正投影．
（1）求以A為頂點，四邊形D₁DCH為底面的四棱錐的體積；
（2）求證：BC₁⊥平面A₁B₁CD；
（3）求直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

Answer 1

解：（1）如圖，∵點O是正方形BCC₁B₁的中心∴H為CC₁的中點，∴CH=HC₁=1
∴∵AD⊥DC，AD⊥DD₁，CD∩DD₁=D∴AD⊥平面D₁DCC₁，
故所求四棱錐體積為
=．
（2）由題意四邊形BCC₁B₁是正方形，∴BC₁⊥B₁C∵A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，B₁C₁∩B₁B=B₁∴A₁B₁⊥平面BCC₁B₁BC₁?平面BCC₁B₁∴A₁B₁⊥BC₁．（8分）
又∵B₁C∩A₁B₁=B₁，B₁C?平面A₁B₁CD，A₁B₁?平面A₁B₁CD∴BC₁⊥平面A₁B₁CD．
（3）如圖，連A₁O，由（1）知BC₁⊥平面A₁B₁CD，O為
垂足，所以A₁O為斜線A₁B在平面A₁B₁CD內的射影，∠BA₁O為A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．
在，
所以∴∴∠BA₁O=30°．
因此，直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角為30⁰．
分析：1）由正方體的性質可得H為CC₁的中點，從而可得CH=HC₁=1，由已知容易證明AD⊥平面D₁DCC₁，分別求出四邊形D₁DCH的面積及四棱錐的高CD
（2）由四邊形BCC₁B₁是正方形可證，BC₁⊥B₁C，然后可證A₁B₁⊥BC₁，根據線面垂直的平判定定理可證
（3）由（1）知BC₁⊥平面A₁B₁CD，O為垂足，所以A₁O為斜線A₁B在平面A₁B₁CD內的射影，∠BA₁O為A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．在RtBA₁O中易求角∠BA₁O
點評：棱錐體積的求解的關鍵是需要找的與已知平面垂直的直線即所求棱錐的高，線面角的求解的關鍵是作出與已知平面垂直的直線，進而找到線面角，在直角三角形中求出所求的角．