Question

（本小題滿分14分）如圖所示，在四棱錐中，平面，，

，，是的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，，，求二面角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵平面，∴。

∵，是的中點

∴為△中邊上的高，

∴。

∵，

∴平面。……………………6分

（2）方法1：延長DA、CB相交于點F，連接PF、DB

過點P作PE⊥BC，垂足為E，連接HE

由（1）知平面，則PH⊥BC

又∵PE∩PH=P，∴BC⊥平面PHE，∴BC⊥HE

∴∠PEH就是所求二面角P－BC－D的平面角……………9分

在△FDC中，∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝

∵平面，，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PD，∵PC＝，∴CD＝4

∵，∴AB＝2，∴BD＝，

∴AB是△FCD的中位線，FD＝CD

∴BD⊥CF

∴HE＝

∵PH＝1，∴……………14分

    

方法2：由（1）知平面，如圖建立空間直角坐標系.

∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝

∵平面，，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PD，∵PC＝，∴CD＝4

∴

設平面BCD、平面PBC的法向量分別為

則，設

∵，令，則

，設二面角P－BC－D為，

則，故

 

【解析】本試題主要是考查了線面垂直和二面角的求解的綜合運用。

（1）因平面，∴。∵，是的中點

∴為△中邊上的高，∴。∵，

∴平面

（2）延長DA、CB相交于點F，連接PF、DB過點P作PE⊥BC，垂足為E，連接HE

由（1）知平面，則PH⊥BC又∵PE∩PH=P，∴BC⊥平面PHE，∴BC⊥HE

∴∠PEH就是所求二面角P－BC－D的平面角，然后利用解三角形得到結論。