Question

如圖3，點A是曲線y=3-x²（y＞0）上的一個動點（點A在y軸左側）以點A為頂點作矩形ABCD，使點B在此曲線上，D，C在x軸上，設|OC|=x，矩形ABCD的面積為S（x）．
（1）寫出函數S（x）的解析式，并求出函數的定義域
（2）求當x為何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

解：（1）∵A是曲線y=3-x²（y＞0）上的一個動點
若|OC|=x，即A的橫坐標為-x時，A的縱坐標為3-x²，
故矩形ABCD的長和寬分別為2x，3-x²，
∴S（x）=2x（3-x²）
又∵曲線y=3-x²與x正半軸交于（，0）點
故
即函數的定義域為
（2）S（x）=2x（3-x²）=-2x³+6x
∴S′（x）=-6x²+6，
令S′（x）=0，則x=1
∵x∈（0，1）時，S′（x）＞0，
x∈時，S′（x）＜0，
故當x=1時面積最大，最大面積為4
分析：（1）由A是曲線y=3-x²（y＞0）上的一個動點（點A在y軸左側），可分別求出矩形的長和寬，代入矩形面積公式可得答案，結合B，C點均在Y軸右側，求出曲線y=3-x²與X軸的交點坐標，可分析出函數的定義域
（2）由（1）中解析式，求出函數S（x）導函數的解析式，利用導數法，分析函數S（x）的單調性后，即可求出最大值．
點評：本題考查的知識點是根據實際問題選擇函數類型，利用導數求閉區間上函數的最值，其中分析矩形的長和寬是解答本題的關鍵．