Question

【題目】已知f（x）=lnx+x2﹣bx．
（1）若函數f（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（2）當b=﹣1時，設g（x）=f（x）﹣2x2 ， 求證函數g（x）只有一個零點．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）在（0，+∞）上遞增，

∴f′（x）= +2x﹣b≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，即b≤ +2x對x∈（0，+∞）恒成立，

∴只需b≤（ +2x）min　（x＞0），

∵x＞0，

∴ +2x≥2 ，當且僅當x= 時取“=”，∴b≤2 ，

∴b的取值范圍為（﹣∞，2 ]

（2）證明：當b=﹣1時，g（x）=f（x）﹣2x2=lnx﹣x2+x，其定義域是（0，+∞），

∴g′（x）= ﹣2x+1=﹣ ，

令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，

當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當x＞1時，g′（x）＜0，

∴函數g（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減，

∴當x≠1時，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，當x=1時，g（x）=0．

∴函數g（x）只有一個零點

【解析】（1）其導函數，利用f（x）在（0，+∞）上遞增，可得f′（x）≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，分離參數，即可求得b的取值范圍；（2）當b=﹣1時，g（x）=f（x）﹣2x2=lnx﹣x2+x，其定義域是（0，+∞），求導函數，確定合適的單調性，利用當x≠1時，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，當x=1時，g（x）=0，即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值的相關知識，掌握極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．