Question

（2012•江西模擬）已知兩定點F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，滿足條件|

PF

2|-|

PF

1|=2的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點．如果|

AB

|=6

3

，且曲線E上存在點C，使

OA

+

OB

=m

OC

．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）求AB的直線方程；
（Ⅲ）求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）點P滿足條件|

PF

2|-|

PF

1|=2，由雙曲線的定義可知，曲線E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點的雙曲線的左支，由此可得曲線E的方程；
（Ⅱ） 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程代入曲線方程，根據直線與雙曲線左支交于兩點A，B，利用韋達定理及|

AB

|=6

3

，即可求得直線AB的方程；
（Ⅲ）設C（x_c，y_c），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得(mxc，myc)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)，從而可得點C的坐標代入曲線E的方程，即可求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點的雙曲線的左支，且c=

2

，a=1，∴b=1
故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）…．（4分）
（Ⅱ） 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意建立方程組

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直線與雙曲線左支交于兩點A，B，由

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得-

2

＜k＜-1…．（6分）
又∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

依題意得 2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

整理后得 28k⁴-55k²+25=0
∴k2=

5

7

或k2=

5

4

但-

2

＜k＜-1，∴k=-

5

2

故直線AB的方程為

5

2

x+y+1=0…．（9分）
（Ⅲ）設C（x_c，y_c），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c）
∴(xc，yc)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)，（m≠0）
又x1+x2=

2k

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=

2k2

k2-1

-2=

2

k2-1

=8
∴點C(-

4 5

m

，

8

m

)，
將點C的坐標代入曲線E的方程，得

80

m2

-

64

m2

=1得m=±4，
但當m=-4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意
∴m=4，…（13分）

點評：本題考查雙曲線的定義，考查直線與曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，解題的關鍵是正確運用雙曲線的定義，利用韋達定理解決弦長問題．