Question

定義在D上的函數f(x)，如果滿足：對于任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f(x)|≤M成立，則稱f(x)是D上的有界函數，其中M稱為函數f(x)的上界.已知函數f(x)＝1＋a·()^x＋()^x；

(1)當a＝1時，求函數f(x)在(－∞，0)上的值域.并判斷函數f(x)在(－∞，0)上是否為有界函數，請說明理由；

(2)若函數f(x)在[0，＋∞)上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍.

(3)試定義函數的下界，舉一個下界為3的函數模型，并進行證明.

Answer 1

(1)當a＝1時，f(x)＝1＋()^x＋()^x＝[()^x＋]²＋，

∵f(x)在(－∞，0)上遞減，所以f(x)＞f(0)＝3，

即f(x)在(－∞，0)的值域為(3，＋∞)，

故不存在常數M＞0，使|f(x)|≤M成立，

∴函數f(x)在(－∞，0)上不是有界函數.

(2)由題意，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立.

－3≤f(x)≤3，－4－()^x≤a·()^x≤2－()^x，

∴－4·2^x－()^x≤a≤2·2^x－()^x

在[0，＋∞)上恒成立，

∴[－4·2^x－()^x]_max≤a≤[2·2^x－()^x]_min.

設2^x＝t，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，

由x∈[0，＋∞)得t≥1，設1≤t₁＜t₂，

h(t₁)－h(t₂)＝＞0，

p(t₁)－p(t₂)＝＜0，

所以h(t)在[1，＋∞)上遞減，p(t)在[1，＋∞)上遞增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值為h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值為p(1)＝1，所以實數a的取值范圍為[－5,1].

(3)定義在D上的函數f(x)，如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f(x)|≥M成立，則稱f(x)是D上的有界函數，其中M稱為函數f(x)的下界

例如f(x)＝3，有|f(x)|≥3；

證明：∵x∈R，|f(x)|＝3≥3，

∴命題成立.