Question

已知函數的定義域為，對于任意的，都有，且當時，，若.
（1）求證：為奇函數；
（2）求證:是上的減函數；
（3）求函數在區間上的值域.

Answer 1

(1)證明：見解析；
（2）證明：見解析；（3）函數在區間上的值域為.

（1）賦值求出，即證出為奇函數；（2）利用函數單調性定義和奇函數證出是上的減函數；（3）由（2）得函數在區間上的最大值是；最小值是.
(1)證明：的定義域為,令,則， 令,則，即.
，故為奇函數.    4分
（2）證明：任取且,
則 
又，，，
即.
故是上的減函數.       8分
（3）解:
又為奇函數,
由(2)知是上的減函數,
所以當時，取得最大值，最大值為；
當時，取得最小值，最小值為. 11分
所以函數在區間上的值域為.     12分