Question

如圖，橢圓中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，A、B是頂點，F是左焦點；當BF⊥AB時，此類橢圓稱為“黃金橢圓”，其離心率為

5 -1

2

．類比“黃金橢圓”可推算出“黃金雙曲線”的離心率e=

 

．

Answer 1

分析：在黃金雙曲線中，|BF|²+|AB|²=|AF|²，由此可知b²+c²+c²=a²+c²+2ac，∵b²=c²-a²，整理得c²=a²+ac，即e²-e-1=0，解這個方程就能求出黃金雙曲線的離心率e．

解答：解：在黃金雙曲線中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，
由題意可知，|BF|²+|AB|²=|AF|²，
∴b²+c²+c²=a²+c²+2ac，
∵b²=c²-a²，整理得c²=a²+ac，
∴e²-e-1=0，解得

5 +1

2

，或 e=

- 5 +1

2

（舍去）．
故黃金雙曲線的離心率e得

5 +1

2

．
故答案為：

5 +1

2

．

點評：注意尋找黃金雙曲線中a，b，c之間的關系，利用雙曲線的性質求解．