Question

        棱長為1的正方體ABCD—A­₁B₁C₁D₁中，P為DD₁的中點，O₁、O₂、O₃分別為平面A₁B₁C₁D₁、平面BB₁C₁C、平面ABCD的中心.

   （1）求PO₂的長。

   （2）求證：B₁O₃⊥PA；

   （3）求異面直線PO₃與O₁O₂所成的角；

Answer 1

解：以D為坐標原點，以DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系D—xyz，則              …………2分

B₁（1，1，1，），

于是…………4分

   （1）由模的公式得：

    即PO₂的長為                    …………6分

   （2）證明：

           …………8分

   （3），

               …………9分

                    

     …………11分

∴異面直線PO₃與O₁O₃所成角的大小         …………12分

（此題用幾何法同樣可以求解，略）