Question

函數(shù)f（x-1）是R上的奇函數(shù)，?x₁，x₂∈R，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，則f（1-x）＜0的解集是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，2）
• D、（2，+∞）

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x-1）是R上的奇函數(shù)，得到函數(shù)f（x）關于（-1，0）點對稱，由?x₁，x₂∈R，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，可得函數(shù)單調遞減，然后利用函數(shù)的奇偶性和單調性之間的關系解不等式即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x-1）是R上的奇函數(shù)，∴函數(shù)f（x-1）關于原點對稱，
將函數(shù)f（x-1）向左平移1個單位得到f（x），即函數(shù)f（x）關于（-1，0）點對稱，
∵?x₁，x₂∈R，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴在定義域R上函數(shù)單調遞減，
即當x＜-1時，f（x）＞0，
當x＞-1時，f（x）＜0，
由f（1-x）＜0，
得1-x＞-1，
即x＜2，
∴不等式f（1-x）＜0的解集是（-∞，2），
故選；C．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，利用條件得到函數(shù)f（x）關于（-1，0）點對稱，以及函數(shù)為單調遞減函數(shù)是解決本題的關鍵．考查學生的應用能力．