Question

已知平面向量

OA

=(1，4)，

OB

=(-1，6)，向量

OP

=2λ

OA

+2(1-λ) 

OB

，λ∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求當(dāng)

OP

⊥

AB

時(shí)，

OP

的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)|

OP

|取最小值時(shí)，求

OP

與

AB

的夾角．

Answer 1

分析：由已知可求

OP

=2λ

OA

+2(1-λ) 

OB

，

AB

=

OB

-

OA

，
（1）由

OP

⊥

AB

可得

OP

•

AB

=0，可求λ，進(jìn)而可求

OP

（2）

OP

=（4λ-2，12-4λ）可得|

OP

|=

(4λ-2)2+(12-4λ)2

=

32λ2-112λ+148

，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求|

OP

|取最小值時(shí)的λ，代入向量的夾角公式cos＜

OP

，

AB

＞=

OP • AB

| OP || AB |

可求

解答：解：∵

OA

=(1，4)，

OB

=(-1，6)，
∴

OP

=2λ

OA

+2(1-λ) 

OB

=（2λ，8λ）+（2λ-2，12-12λ）=（4λ-2，12-4λ）

AB

=

OB

-

OA

=（-2，2）
（1）∵

OP

⊥

AB

∴

OP

•

AB

=-8λ+4+24-8λ=0
∴λ=

7

4

，

OP

=(5，5)
（2）∵

OP

=（4λ-2，12-4λ）
∴|

OP

|=

(4λ-2)2+(12-4λ)2

=

32λ2-112λ+148

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)λ=

7

4

時(shí)，|

OP

|取最小值時(shí)
此時(shí)，

OP

=（5，5），

AB

=（-2，2）
∴cos＜

OP

，

AB

＞=

OP • AB

| OP || AB |

=0，即夾角為90°

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示的基本運(yùn)算，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及夾角公式的應(yīng)用．