Question

已知函數，，其中.
（Ⅰ）討論的單調性；
（Ⅱ）若在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；
（Ⅲ）設函數，當時，若，，總有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

(1)見解析；(2);(3).

試題分析：(1)求出，然后根據 的符號討論的單調性；（2）求出，然后將條件轉化為 ， .然后分離參數得到，然后用基本不等式求得即可得到 的取值范圍；（3）將“若，，總有成立”轉化成“ 在 上的最大值不小于 在 上的最大值”即可求得的取值范圍.
試題解析：（1）的定義域為，且，
①當 時， ， 在 上單調遞增；
②當 時，由，得 ；由 ，得 ；
故 在 上單調遞減，在 上單調遞增.
(2) , 的定義域為 . .
因為 在其定義域內為增函數，所以 ， .
 .
而 ，當且僅當 時取等號，所以 .
(3)當 時， ， .
由 得 或 .
當 時， ；當 時， .
所以在 上， .
而“，，總有成立”等價于“ 在 上的最大值不小于 在 上的最大值”.
而 在 上的最大值為 ，
所以有.
所以實數的取值范圍是.