Question

（本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，側棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）設，求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析，（3）

試題分析：（1）證明線面平行，關鍵在于找出線線平行.顯然DE與三角形ABC三條邊都不平行，因此需作輔助線.因為D,E都是中點，所以取中點，連接，可證得四邊形是平行四邊形.因而有，再根據線面平行判定定理就可證得.（2）要證明平面，需證明及，前面在平面中證明，利用勾股定理，即通過計算設，則.∴，∴.后者通過線面垂直與線線垂直的轉化得，即由面面，得面，再得.（3）求三棱錐的體積關鍵在于求高.由（2）得平面，所以三棱錐的高為的一半，因此三棱錐的體積為.
試題解析：（1）取中點，連接，
∵，∴.
∴四邊形是平行四邊形.
∴，又∵，
∴平面.                 4分
（2）∵是等腰直角三角形斜邊的中點，∴.
又∵三棱柱是直三棱柱，∴面面.
∴面，∴.
設，則.
∴. ∴.
又，∴平面.                 8分

（3）∵點是線段的中點，∴點到平面的距離是點到平面距離的.
而，∴三棱錐的高為；在中，，所以三棱錐的底面面積為，故三棱錐的體積為.             12分