Question

（本小題滿分14分）已知：以點C (t, )(t∈R , t≠ 0)為圓心的圓與軸交于點O, A，
與y軸交于點O, B，其中O為原點．
（Ⅰ）當t=2時，求圓C的方程；
（Ⅱ）求證：△OAB的面積為定值；
（Ⅲ）設直線y = –2x+4與圓C交于點M, N，若，求圓C的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

本試題主要是考查了圓的方程，以及直線與圓的位置關系、三角形的面積公式的綜合運用，
（1）因為點C (t, )(t∈R , t≠ 0)為圓心的圓與軸交于點O, A，
與y軸交于點O, B，其中O為原點當t=2得到圓心和半徑得到結論。
（2）因為圓心過原點，滿足半徑的平方式t的表達式，然后得到圓的方程的表示， 然后令x=0,y=0，得到三角形的邊長得到面積。
（3）根據設直線y = –2x+4與圓C交于點M, N，以及|OM|=|ON|，說明MN的垂直平分線是OC，然后利用垂直的斜率關系得到OC的斜率，從而得到方程。然后利用線與圓相交，得到結論。
解 ：（Ⅰ）圓的方程是  
（Ⅱ），．設圓的方程是 
令，得；令，得
，即：的面積為定值．
（Ⅲ）垂直平分線段．
，直線的方程是．，解得：   
當時，圓心的坐標為，，   此時到直線的距離，
圓與直線相交于兩點．   
當時，圓心的坐標為，，此時到直線的距離
圓與直線不相交，不符合題意舍去．
圓的方程為．